LES LIMITES DES MATHEMATIQUES ...

Michèle

LES MATHEMATIQUES : REINE DE LA SCIENCE

http://www.cybersciences.com/cyber/1.0/1_1213_Menu.asp

Les limites des mathématiques

Isabelle CUCHET

Les mathématiques, sciences déductives, logiques, raisonnables, ont longtemps flatté l'ambition des hommes qui croyaient pouvoir trouver grâce à elles la « clé » du monde : un jour, l'Univers serait mis en équations ! La plupart des mathématiciens pensaient que toute proposition vraie doit pouvoir être démontrée : autrement dit, un système mathématique devait être « complet ». Mais cela se passait avant les travaux de l'Américain Kurt Gödel et la démonstration de son célèbre théorème d'incomplétude en 1931.

Le théorème de Gödel stipule que toute théorie consistante (c'est-à-dire à l'intérieur de laquelle une proposition fausse ne peut pas être démontrée) capable de formaliser l'arithmétique (la théorie des nombres), inclut au moins une proposition indécidable, qui n'est ni démontrable, ni réfutable. En d'autres termes, il existe en mathématiques des propositions dont on ne saura jamais dire si elles sont vraies ou fausses. Un système qui comprend de telles propositions est dit « incomplet ».

Pour parvenir à ce résultat, Gödel est parvenu à construire un théorème arithmétique présentant les propriétés suivantes : s'il est vrai, alors il est indémontrable ; s'il est faux, il devient démontrable. Or il est impossible qu'un théorème soit à la fois faux et démontrable. Par conséquent, il faut admettre que ce théorème est à la fois vrai et indémontrable. L'arithmétique est donc un système « incomplet ».

Le théorème de Gödel a eu des répercussions dans toutes les branches des mathématiques, à commencer par l'informatique. Car dès l'instant où une question mathématique n'admet pas forcément une réponse, on ne peut affirmer qu'un programme informatique s'exécutera en un temps fini ou même s'il parviendra à une solution. Mais au-delà d'un problème mathématique, le théorème d'incomplétude de Gödel pose une conclusion scientifique beaucoup plus générale : une théorie scientifique ne pourra jamais expliquer l'ensemble des phénomènes que nous pouvons observer.

7/2/2002

_________________

Michèle